• 11.1 投资组合的期望收益率
• 11.2 两只股票组合的波动率
• 11.3 大型投资组合的波动率
• 11.4 有效投资组合
• 11.5 无风险储蓄与借贷
• 11.6 有效投资组合与必要收益率
• 11.7 资本资产定价模型
• 11.8 确定风险溢价

• 期望收益率简单：加权平均即可。波动率却不是加权平均（11.2）。

第 1 步：权重 $x_{\text{甲}}=40÷100=40\mathrm{\%}$，$x_{\text{乙}}=60÷100=60\mathrm{\%}$

第 2 步：加权平均 $$E[R_P]=x_{\text{甲}}E[R_{\text{甲}}]+x_{\text{乙}}E[R_{\text{乙}}]=0.4\times 20\mathrm{\%}+0.6\times 10\mathrm{\%}=14\mathrm{\%}$$

组合的风险，要看两只股票是不是一起涨跌。

• 前两项：两只股票各自的风险。
• 第三项：两只股票一起波动的部分（$=2x_1{x}_{2}Cov(R_1,R_2)$）。相关系数越低，这一项越小。
• 波动率：$SD(R_P)=\sqrt{Var(R_P)}$。

第 1 步：方差（相关系数为 0，第三项为 0） $$\begin{array}{rl}Var(R_P)& =x_{\text{甲}}^{2}SD(R_{\text{甲}}{)}^2+x_{\text{乙}}^{2}SD(R_{\text{乙}}{)}^2\\ & ={0.4}^2\times {0.40}^2+{0.6}^2\times {0.20}^2=0.0256+0.0144=0.04\end{array}$$ 第 2 步：波动率 $SD(R_P)=\sqrt{0.04}=20\mathrm{\%}$

同一个组合（40% 甲 + 60% 乙），只改相关系数。第三项 $=2\times 0.4\times 0.6\times 0.40\times 0.20\times Corr=0.0384\times Corr$：

• 期望收益率都是 14%：相关系数只影响风险，不影响期望收益率。

• 相关系数为 $+1$ 时，组合落在连接甲、乙的直线上（加权平均）；相关系数越低，曲线越往左弯，风险越小。

• $n$ 只股票时，组合的方差是所有两两协方差的加权和：$n^2$ 项里只有 $n$ 项是方差，其余都是协方差。股票一多，风险主要看协方差。

• 第10章 10.6：独立风险可以分散掉，共同风险分散不掉。平均协方差就是分散不掉的共同风险。

第 1 步：股票很多时只剩平均协方差 $SD(R_P)\approx \sqrt{Corr\times SD\times SD}$

第 2 步：代入

• (a) 同行业：$\sqrt{0.49\times 0.40\times 0.40}=0.7\times 0.40=28\mathrm{\%}$
• (b) 跨国：$\sqrt{0.09\times 0.40\times 0.40}=0.3\times 0.40=12\mathrm{\%}$

• 甲少于 20% 的组合（虚线）无效：正上方总有波动率相同、收益更高的组合。实线是有效边界。

卖空：借股票卖出，以后买回归还，权重为负；股价下跌才赚钱。

第 1 步：权重 $x_{\text{甲}}=30÷20=150\mathrm{\%}$，$x_{\text{乙}}=-10÷20=-50\mathrm{\%}$（合计 100%）

第 2 步：代入例题 11.2、11.6 的公式 $$\begin{array}{rl}E[R_P]& =1.5\times 20\mathrm{\%}+(-0.5)\times 10\mathrm{\%}=25\mathrm{\%}\\ SD(R_P)& =\sqrt{{1.5}^2\times {0.40}^2+(-0.5{)}^2\times {0.20}^2}=\sqrt{0.37}\approx 61\mathrm{\%}\end{array}$$

• 加入股票丙：期望收益率 8%，波动率 20%；与甲的相关系数为 0.25，与乙不相关。
• 丙看起来不如乙（风险相同，收益更低），加入后有效边界却向左移：波动率最小的组合从 17.9% 降到约 14%（见下页图）。
• 股票越多，有效边界越往左上方；乙、丙都在边界的右下方，单独持有无效。

• 红线（加入丙）比蓝色虚线（只有甲、乙）更靠左：同样的期望收益率，风险更低。

把比例 $x$ 投入风险组合 $P$，其余 $1-x$ 买国债（无风险利率 $r_f$）：

• 国债没有波动，组合的风险全部来自 $P$。
• $x<1$：部分资金买国债（储蓄），超额收益和风险同比例缩小。
• $x>1$：按 $r_f$ 借钱多买 $P$（融资买入），超额收益和风险同比例放大。
• 这些组合都在从 $r_f$ 出发、穿过 $P$ 的直线上。

第 1 步：投入乙的比例 $x=20÷10=200\mathrm{\%}$

第 2 步：期望收益率 $E=r_f+x(E[R_{\text{乙}}]-r_f)=4\mathrm{\%}+2\times (10\mathrm{\%}-4\mathrm{\%})=16\mathrm{\%}$

第 3 步：波动率 $SD=xSD(R_{\text{乙}})=2\times 20\mathrm{\%}=40\mathrm{\%}$

• 夏普比率最高的组合叫切点组合 $T$：直线与有效边界正好相切。甲、乙的组合中，$T$ = 40% 甲 + 60% 乙。

• 穿过 $T$ 的直线最陡：同样 20% 的波动率，沿它得 14%，沿穿过乙的直线只得 10%。

第 1 步：最优组合都是 $T$ + 国债 $$\begin{array}{rl}E& =r_f+x(E[R_T]-r_f)=4\mathrm{\%}+x\times 10\mathrm{\%}\\ SD& =xSD(R_T)=x\times 20\mathrm{\%}\end{array}$$

第 2 步：求 $x$

• (a) $x\times 20\mathrm{\%}=20\mathrm{\%}$，$x=100\mathrm{\%}$：全换成 $T$，期望收益率 14%。
• (b) $4\mathrm{\%}+x\times 10\mathrm{\%}=10\mathrm{\%}$，$x=60\mathrm{\%}$：波动率 $0.6\times 20\mathrm{\%}=12\mathrm{\%}$。

• 能按 $r_f$ 借贷时，最好的组合都在穿过 $T$ 的直线上。

• 风险偏好只决定投入 $T$ 的比例 $x$：

  • 保守：$x<1$，部分资金买国债（叔叔 (b)：$x=60\mathrm{\%}$，波动率 12%）。
  • 激进：$x>1$，借钱多买 $T$（$x=200\mathrm{\%}$：期望收益率 24%，波动率 40%）。
• 两人持有的风险资产相同：都是 40% 甲 + 60% 乙。

问题：持有组合 $P$，再借钱买一点投资 $i$，夏普比率会不会提高？

• 多得的收益：$E[R_i]-r_f$。
• 多担的风险：只算 $i$ 与 $P$ 同步的部分 $SD(R_i)\times Corr(R_i,R_P)$，再按 $P$ 的夏普比率折成收益。

• 必要收益率：补偿 $i$ 给组合增加的风险所需的期望收益率。

第 1 步： ${\beta }_{\text{丙}}^T={\displaystyle \frac{SD(R_{\text{丙}})\times Corr(R_{\text{丙}},R_T)}{SD(R_T)}}={\displaystyle \frac{20\mathrm{\%}\times 0.2}{20\mathrm{\%}}}=0.2$

第 2 步： $r_{\text{丙}}=r_f+{\beta }_{\text{丙}}^T\times (E[R_T]-r_f)=4\mathrm{\%}+0.2\times 10\mathrm{\%}=6\mathrm{\%}$

第 3 步： $E[R_{\text{丙}}]=8\mathrm{\%}>6\mathrm{\%}$：应加入一些丙。

检验 $T$（只有甲、乙时）：甲、乙与 $T$ 的相关系数分别为 0.8、0.6。

资本资产定价模型（CAPM）不必估计每只股票的期望收益率，就能找到有效组合：市场组合。它有三个假设：

1. 市场竞争、没有摩擦：按市场价买卖任何证券，没有税和交易成本；可以按无风险利率借贷。
2. 只持有有效组合：同样的波动率下，选期望收益率最高的组合。
3. 预期相同（同质预期）：大家对期望收益率、波动率和相关系数的估计都一样。

• 由假设 2、3：人人都持有同一个切点组合 $T$，只是数量不同（11.5）。
• 所有人的持股加起来，就是市场上的全部股票。需求等于供给，所以市场组合 = 切点组合。

解答：有效组合中甲、乙之比都是 2:3，所以她买甲 2 万元。人人如此，甲、乙的市值之比也必须是 2:3。

CAPM 下，最优组合 = 市场组合 + 无风险资产。从 $r_f$ 穿过市场组合的直线叫资本市场线（CML）： $$E[R_{xCML}]=r_f+x(E[R_{Mkt}]-r_f),SD(R_{xCML})=xSD(R_{Mkt})$$

• 本章的例子：设市场上只有甲、乙两只股票，市场组合就是 $T$：$E[R_{Mkt}]=14\mathrm{\%}$，$SD(R_{Mkt})=20\mathrm{\%}$，$r_f=4\mathrm{\%}$。
• CML：$E[R]=4\mathrm{\%}+0.5\times SD$。斜率 0.5 就是市场组合的夏普比率。

• 甲、乙都在 CML 右边：期望收益率相同时，单只股票的波动率更大，多出的是可分散风险（绿色箭头）。

市场组合有效（11.7），把 11.6 的必要收益率用于市场组合，就得到第10章的 CAPM（公式 10.11）：

• 期望收益率与 $\beta$ 是直线关系，这条线叫证券市场线（SML）。
• 本章例子：$E[R_i]=4\mathrm{\%}+{\beta }_i\times 10\mathrm{\%}$；甲（$\beta =1.6$）20%，乙（$\beta =0.6$）10%。

第 1 步： ${\beta }_{\text{甲}}={\displaystyle \frac{SD(R_{\text{甲}})\times Corr(R_{\text{甲}},R_{Mkt})}{SD(R_{Mkt})}}={\displaystyle \frac{40\mathrm{\%}\times 0.8}{20\mathrm{\%}}}=1.6$

第 2 步：取 $x={\beta }_{\text{甲}}=1.6$（借 60% 买市场组合）

• $SD=xSD(R_{Mkt})=1.6\times 20\mathrm{\%}=32\mathrm{\%}$
• $E=r_f+x(E[R_{Mkt}]-r_f)=4\mathrm{\%}+1.6\times 10\mathrm{\%}=20\mathrm{\%}$

解答： $$E[R]=r_f+\beta \times (E[R_{Mkt}]-r_f)=4\mathrm{\%}+(-0.2)\times 10\mathrm{\%}=2\mathrm{\%}<4\mathrm{\%}$$

• 合理。市场下跌时它往往上涨，放进组合能降低风险，像一份“衰退保险”。
• 投资者为这份保险付费：接受比国债还低的期望收益率。

• 方法一：先算各自，再加权：$0.5\times 20\mathrm{\%}+0.5\times 10\mathrm{\%}=15\mathrm{\%}$。
• 方法二：先算组合 Beta：${\beta }_P=0.5\times 1.6+0.5\times 0.6=1.1$，$E[R_P]=4\mathrm{\%}+1.1\times 10\mathrm{\%}=15\mathrm{\%}$。
• 检验：市场组合（40% 甲 + 60% 乙）的 Beta $=0.4\times 1.6+0.6\times 0.6=1$。

• 例：分析师预计乙的期望收益率为 12%，CAPM 的必要收益率是 10%：$\alpha =12\mathrm{\%}-10\mathrm{\%}=+2\mathrm{\%}$。
• $\alpha >0$：同样的 Beta，给得更多，说明股价偏低。投资者买入，股价上涨，期望收益率回落到 10%。
• $\alpha <0$：股价偏高，投资者卖出。

• 按 CAPM，所有证券都在 SML 上（$\alpha =0$）；分析师预期 12% 的乙在线上方，$\alpha =+2\mathrm{\%}$。

$$r_i=r_f+{\beta }_i\times (E[R_{Mkt}]-r_f)$$

• 无风险利率 $r_f$：10 年期国债收益率，币种与现金流一致：人民币现金流用中国国债，美元现金流用美国国债。
• 市场风险溢价：取 5% 左右（第10章中美对比：中国 5.1%，美国 4.5%）。本章例子的 10% 只为好算。
• Beta：股票月度超额收益率对市场月度超额收益率回归的斜率，常用过去 5 年（60 个月）的数据；用月度数据，可避开涨跌停的扭曲（第10章）。

第 1 步：股权资本成本 $$r_E=r_f+{\beta }_{\text{甲}}\times (E[R_{Mkt}]-r_f)=2\mathrm{\%}+1.6\times 5\mathrm{\%}=10\mathrm{\%}$$ 第 2 步：没有负债，资本成本就是股权资本成本：折现率为 10%。