20742 第 4 章：货币的时间价值

第 4 章

货币的时间价值

20742 财务管理 · Berk & DeMarzo《公司金融》第 4 章

章节大纲

4.1 时间线
4.2 时间旅行三定律
4.3 现金流估值
4.4 计算净现值 (NPV)
4.8 求解现金支付额
4.9 内部收益率 (IRR)

学习目标 (1/4)

绘制给定现金流的时间线。
列出并定义时间旅行三定律。
计算以下各项的终值：
- 单笔金额
- 从现在或未来某个时间点开始的一系列不均匀现金流
- 从现在或未来某个时间点开始的年金
- 定期发生、每期以恒定速率增长的若干现金流

学习目标 (2/4)

计算以下各项的现值：
- 单笔金额
- 从现在或未来某个时间点开始的一系列不均匀现金流
- 无限期的相同现金流
- 从现在或未来某个时间点开始的年金
- 每期以恒定速率增长的无限现金流
- 定期发生、每期以恒定速率增长的若干现金流

学习目标 (3/4)

对于一项年金，给定以下五个输入中的任意四个，计算第五个：(a) 现值，(b) 终值，(c) 期数，(d) 每期利率，(e) 每期支付额。
对于单笔金额，给定以下四个输入中的任意三个，计算第四个：(a) 现值，(b) 终值，(c) 期数，(d) 每期利率。

学习目标 (4/4)

给定现金流和现值或终值，计算一系列现金流的内部收益率。

4.1 时间线 (1/4)

时间线是潜在现金流时间分布的线性表示。
绘制现金流时间线有助于你将金融问题可视化。

4.1 时间线 (2/4)

假设你向朋友提供了一笔贷款。未来两年，你将分两次收到还款，每年年底一次。

4.1 时间线 (3/4)

现金流分为两种类型：
- 现金流入是正的现金流。
- 现金流出是负的现金流，用负号（-）表示。

4.1 时间线 (4/4)

假设你今天借出 $10,000，这笔贷款分两次偿还，每年偿还 $6,000。

日期0（今天）的第一次现金流表示为负数，因为它是一笔现金流出。
时间线可以表示发生在任意时期期末的现金流，如月末、周末、日末等。

教材例题 4.1 (1/2)

构建时间线

问题

假设你未来两年每年必须支付 $10,000 的学费。你的学费必须在每学期初等额支付。你的学费支付时间线是怎样的？

教材例题 4.1 (2/2)

解答

假设今天是第一学期的开始，你的第一次付款发生在日期0（今天）。其余的付款发生在每个学期初。以一学期为时间单位，我们可以构建如下时间线：

4.2 时间旅行三定律

财务决策通常需要合并现金流或比较其价值。
三条定律支配着这些过程。

表 4.1 时间旅行三定律

定律 1	只有在同一时间点的价值才能进行比较或合并。
定律 2	要将现金流向前移动，你必须对其进行复利计算。
定律 3	要将现金流向后移动，你必须对其进行折现。

现金流的终值 $F V_{n} = C \times (1 + r)^{n}$

现金流的现值 $P V = \frac{C}{(1 + r)^{n}}$

定律 1：比较和合并价值

今天的一美元和一年后的一美元是不等价的。
只有在同一时间点的价值才能进行比较或合并。
- 你更愿意选择哪个：今天获得 $1,000 的礼物，还是在稍后的某个日期获得 $1,210？
- 要回答这个问题，你必须比较这些选择，以决定哪个更有价值。
- 需要考虑的一个因素是：“稍后”是多久？

定律 2：将现金流向前移动 (1/2)

要将现金流向前移动，你必须对其进行复利计算。
假设你可以选择今天收到 $1,000 或两年后收到 $1,210。
你相信今天投资 $1,000 可以获得 10% 的收益率，但想知道这 $1,000 在两年后会值多少钱。

定律 2：将现金流向前移动 (2/2)

现金流的终值

$F V_{n} = C \times (1 + r) \times (1 + r) \times \dots \times (1 + r) = C \times (1 + r)^{n}$

图 4.1：利息随时间的构成

图中显示了总终值由三部分构成：原始存款、原始存款的单利以及利息的利息（利滚利）。随着时间的推移，“利滚利”部分显著增长。

教材例题 4.2 (1/2)

复利的力量

问题

假设你将 $1,000 投资于一个年利率为 10% 的账户。7年后、20年后、75年后，你的账户里将有多少钱？

教材例题 4.2 (2/2)

解答

你可以应用公式 4.1 计算每种情况下的终值。
- 7 年后： $$ 1000 \times (1.10)^{7} = $ 1948.72$
- 20 年后： $$ 1000 \times (1.10)^{20} = $ 6727.50$
- 75 年后： $$ 1000 \times (1.10)^{75} = $ 1, 271, 895.37$
注意，在 10% 的利率下，你的钱在七年内几乎翻倍。20年后，它将增至近七倍。如果你投资75年，你将成为百万富翁！

定律 3：将现金流向后移动

要将现金流向后移动，我们必须对其进行折现。

现金流的现值

$P V = C \div (1 + r)^{n} = \frac{C}{(1 + r)^{n}}$

教材例题 4.3 (1/2)

单一未来现金流的现值

问题

你正在考虑投资一种储蓄债券，该债券将在10年后支付 $15,000。如果市场竞争利率固定为每年 6%，那么该债券今天价值多少？

教材例题 4.3 (2/2)

解答

该债券的现金流可用以下时间线表示：

因此，该债券在10年后价值 $15,000。要确定今天的价值，我们计算其现值： $P V = \frac{15, 000}{{1.06}^{10}} = $ 8375.92 (今天)$
由于货币的时间价值，该债券今天的价值远低于其最终支付额。

补充例题 4.3 (1/2)

问题

假设你获得一个投资机会，它将在五年后支付 $10,000。如果你期望获得 10% 的收益率，这项投资今天价值多少？

补充例题 4.3 (2/2)

解答

这 $10,000 今天的价值是： $P V = $ 10, 000 \div (1.10)^{5} = $ 6209$

应用时间旅行定律 (1/2)

回顾第一条定律：只有在同一时间点的价值才能进行比较或合并。
到目前为止，我们只看了比较。
假设我们计划今天存 $1,000，并且在未来两年的每年年底各存 $1,000。
如果我们的储蓄可以获得固定的 10% 利率，那么从今天起三年后我们会有多少钱？

应用时间旅行定律 (2/2)

计算终值

方法一：逐步计算

第1年末： $$ 1000 \times 1.10 + $ 1000 = $ 2100$
第2年末： $$ 2100 \times 1.10 + $ 1000 = $ 3310$
第3年末： $$ 3310 \times 1.10 = $ 3641$

方法二：分别计算每笔现金流的终值

第1笔 $($ 1000$ @ $t = 0)$ ： $$ 1000 \times (1.10)^{3} = $ 1331$
第2笔 $($ 1000$ @ $t = 1)$ ： $$ 1000 \times (1.10)^{2} = $ 1210$
第3笔 $($ 1000$ @ $t = 2)$ ： $$ 1000 \times (1.10)^{1} = $ 1100$
总计： $$ 1331 + $ 1210 + $ 1100 = $ 3641$

教材例题 4.4 (1/3)

计算终值

问题

让我们重新审视我们之前考虑的储蓄计划：我们计划今天存 $1,000，并在未来两年的每年年底各存 $1,000。在固定的 10% 利率下，从今天起三年后我们在银行会有多少钱？

教材例题 4.4 (2/3)

解答（另一种方法）

首先，计算现金流的现值。我们可以分别处理每笔现金流，然后将它们的现值相加。
PV(t=1)： $$ 1000 / 1.10 = $ 909.09$
PV(t=2)： $$ 1000 / (1.10)^{2} = $ 826.45$
PV(t=0)：$1000
总现值： $$ 1000 + $ 909.09 + $ 826.45 = $ 2735.54$

教材例题 4.4 (3/3)

解答（续）

今天存入 $2,735.54 等同于连续三年每年存入 $1,000。
现在我们计算它在第3年末的终值： $F V = $ 2735.54 \times (1.10)^{3} = $ 3641$

这个 $3,641 的答案与我们之前得到的结果完全相同。
只要我们应用时间旅行三定律，我们总能得到正确的答案。

4.3 现金流估值

现金流的现值

基于时间旅行第一定律，我们可以推导出估算一系列现金流价值的通用公式：如果我们想求一系列现金流的现值，只需将每笔现金流的现值相加。

现金流的现值公式

$P V = \sum_{n = 0}^{N} P V (C_{n}) = \sum_{n = 0}^{N} \frac{C_{n}}{(1 + r)^{n}}$

教材例题 4.5 (1/4)

一系列现金流的现值

问题

你刚毕业，需要钱买一辆新车。你那位富有的亨利叔叔愿意借钱给你，只要你同意在四年内还清，并按他把钱存入储蓄账户所能得到的利率支付利息。根据你的收入和生活开支，你认为你能在一年后支付他 $5,000，然后在接下来的三年里每年支付 $8,000。如果亨利叔叔的储蓄能获得每年 6% 的收益率，你能从他那里借多少钱？

教材例题 4.5 (2/4)

解答

你能承诺给亨利叔叔的现金流如下：

亨利叔叔今天应该愿意给你多少钱来换取你的还款承诺？他应该愿意给你一个与这些还款现值相等的金额。 $\begin{aligned} P V & = \frac{5000}{1.06} + \frac{8000}{{1.06}^{2}} + \frac{8000}{{1.06}^{3}} + \frac{8000}{{1.06}^{4}} \\ = 4716.98 + 7119.97 + 6716.95 + 6336.75 \\ = $ 24, 890.65 \end{aligned}$
因此，亨利叔叔应该愿意借给你 $24,890.65。

教材例题 4.5 (3/4)

因此，亨利叔叔应该愿意借给你 $24,890.65，这个金额小于你将支付给他的总额（$29,000），这是由于货币的时间价值。
让我们来验证一下。如果你的叔叔今天将 $24,890.65 存入银行，赚取 6% 的利息，四年后他将拥有： $F V = $ 24, 890.65 \times (1.06)^{4} = $ 31, 423.87$
现在，假设亨利叔叔把钱给了你，然后每年将你的还款存入银行。四年后他会有多少钱？我们需要计算年度存款的终值。

教材例题 4.5 (4/4)

我们用两种方法得到了相同的结果（相差一分钱以内，是四舍五入所致）。
现值为 PV 的一系列现金流的终值： $F V_{n} = P V \times (1 + r)^{n}$

4.4 计算净现值 (NPV)

计算未来现金流的净现值 (NPV) 让我们能够评估一项投资决策。
净现值比较的是现金流入（收益）的现值与现金流出（成本）的现值。 $N P V = P V (收益) - P V (成本)$

教材例题 4.6 (1/4)

投资机会的净现值

问题

你获得了一个投资机会：如果你今天投资 $1,000，你将在未来三年的每年年底收到 $500。如果你本来可以将钱投资于其他地方并获得每年 10% 的收益率，你是否应该接受这个投资机会？

教材例题 4.6 (2/4)

解答

我们用时间线来表示这个问题，初始投资为负现金流，收到的钱为正现金流。

为了决定是否接受这个机会，我们通过计算现金流的现值来计算净现值 (NPV)： $N P V = - 1000 + \frac{500}{1.10} + \frac{500}{{1.10}^{2}} + \frac{500}{{1.10}^{3}} = $ 243.43$

教材例题 4.6 (3/4)

因为 NPV 是正数，收益超过了成本，我们应该进行这项投资。实际上，NPV 告诉我们，接受这个机会就像今天额外获得了 $243.43 可供消费。
为了说明这一点，假设你借款 $1,000 用于投资，并额外借款 $243.43 用于今天的消费。
在 10% 的利率下，这笔 $1,243.43 的贷款在三年后需要偿还的金额为： $F V = ($ 1000 + $ 243.43) \times (1.10)^{3} = $ 1655$

教材例题 4.6 (4/4)

与此同时，这项投资机会产生了现金流。如果你将这些现金流存入银行账户，三年后你将存下多少钱？存款的终值为： $F V = ($ 500 \times {1.10}^{2}) + ($ 500 \times 1.10) + $ 500 = $ 1655$
你可以用你的银行存款来偿还贷款。因此，接受这个机会让你可以在今天消费 $243.43 而无需任何额外成本。

永续年金 (Perpetuity)

当一笔恒定的现金流以固定的时间间隔永远持续下去时，它被称为永续年金。

永续年金的现值

永续年金的价值就是现金流除以利率。 $P V (C in perpetuity) = \frac{C}{r}$

教材例题 4.7

捐赠一项永续年金

问题

你想为你的母校捐赠一笔资金，用于举办年度MBA毕业派对。你希望这个活动令人难忘，所以你计划每年为此永久提供 $30,000 的预算。如果大学的投资年收益率为 8%，且第一次派对在一年后举行，你需要捐赠多少钱？

解答

这是一个标准的永续年金，每年 $30,000。你需要提供的资金是这笔现金流的现值。 $P V = \frac{C}{r} = \frac{$ 30, 000}{0.08} = $ 375, 000 (今天)$ 如果你今天捐赠 $375,000，大学将其以每年 8% 的利率投资，那么MBA学生每年将有 $30,000 用于他们的毕业派对。

年金 (Annuity)

当一笔恒定的现金流以固定的时间间隔持续有限的N期时，它被称为年金。

年金的现值

$P V = C \times \frac{1}{r} (1 - \frac{1}{(1 + r)^{N}})$

教材例题 4.8 (1/2)

彩票奖金年金的现值

问题

你是州立彩票 $3,000 万大奖的幸运赢家。你可以选择以下两种方式领取奖金：(a) 分30次领取，每年 $100 万（从今天开始），或 (b) 今天一次性领取 $1,500 万。如果利率是 8%，你应该选择哪个选项？

教材例题 4.8 (2/2)：彩票奖金年金的现值

解答

选项 (a) 是一个期初年金 (annuity due)，因为它包含一笔立即支付的款项。
这笔奖金包括今天立即支付的100万美元，以及一笔为期29年、每年支付100万美元的普通年金。
首先，计算未来29年年金的现值 (PV)： $P V_{年金} = 100 万 \times \frac{1}{0.08} (1 - \frac{1}{{1.08}^{29}}) \approx 1116 万$
将首期支付与年金现值相加，得到选项 (a) 的总现值： $总现值 = 100 万 (首期) + 1116 万 (年金现值) = 1216 万$
结论：选项 (a) 的总现值约为 1216万美元，低于选项 (b) 的 1500万美元。因此，一次性领取1500万美元是更优的选择。

年金的终值

年金的终值公式

$\begin{aligned} F V (annuity) & = P V \times (1 + r)^{N} \\ = (C \times \frac{1}{r} (1 - \frac{1}{(1 + r)^{N}})) \times (1 + r)^{N} \\ = C \times \frac{1}{r} ((1 + r)^{N} - 1) \end{aligned}$

教材例题 4.9

退休储蓄计划年金

问题

艾伦今年35岁，她决定认真规划退休生活。从现在开始直到65岁，她将在每年年底向一个退休账户存入 $10,000。如果该账户每年收益率为 10%，那么艾伦在65岁时能存下多少钱？

解答

这是一个为期30年（从35岁末到65岁末）的年金，每年 $10,000。我们计算这个年金的终值： $\begin{aligned} F V & = $ 10, 000 \times \frac{1}{0.10} ((1.10)^{30} - 1) \\ = $ 10, 000 \times 164.49 \\ = $ 1, 644, 940 (约 $164.5 万) \end{aligned}$ 艾伦在65岁时将拥有约 $164.5 万的储蓄。

增长型现金流

增长型永续年金

假设你预期永续年金的支付额以恒定速率 $g$ 增长。

增长型永续年金的现值

$P V (growing perpetuity) = \frac{C}{r - g} (其中 r > g)$

教材例题 4.10

捐赠增长型永续年金

问题

在例题 4.7 中，你计划捐款 $375,000 来资助每年 $30,000 的派对（利率为 8%）。现在，学生会要求你增加捐款，以应对未来因通货膨胀导致的派对成本上涨。他们估计派对成本将每年上涨 4%。为了满足他们的要求，你现在需要捐赠多少钱？

解答

这是一个增长型永续年金，初始现金流 $C = $ 30, 000$ ，利率 $r = 8 %$ ，增长率 $g = 4 %$ 。 $P V = \frac{C}{r - g} = \frac{$ 30, 000}{0.08 - 0.04} = \frac{$ 30, 000}{0.04} = $ 750, 000$ 你需要将你的捐款翻倍！

增长型现金流

增长型年金

初始现金流为 $C$ 、增长率为 $g$ 、利率为 $r$ 、持续 $N$ 期的增长型年金，其现值为：

增长型年金的现值

$P V = C \times \frac{1}{r - g} (1 - {(\frac{1 + g}{1 + r})}^{N}) (其中 r \neq g)$

教材例题 4.11 (1/2)

用增长型年金进行退休储蓄

问题

在例题 4.9 中，艾伦考虑每年储蓄 $10,000。虽然第一年她最多只能存这么多，但她预计自己的薪水每年都会增长，因此她能够每年将储蓄额增加 5%。按照这个计划，如果她的储蓄年收益率为 10%，艾伦在65岁时能存下多少钱？

教材例题 4.11 (2/2)

解答

这是一个为期30年的增长型年金，初始现金流 $C = $ 10, 000$ ， $g = 5 %$ ， $r = 10 %$ 。
首先，计算这个增长型年金的现值： $\begin{aligned} P V & = $ 10, 000 \times \frac{1}{0.10 - 0.05} (1 - {(\frac{1.05}{1.10})}^{30}) \\ = $ 10, 000 \times 15.0463 \\ = $ 150, 463 (今天) \end{aligned}$
接下来，计算这个现值在30年后的终值： $F V = $ 150, 463 \times (1.10)^{30} = $ 2, 625, 000 (约 $262.5 万)$
艾伦将储蓄 $262.5 万，比她原来的计划多出近 $100 万。

4.8 求解现金支付额

有时我们知道现值或终值，但不知道之前作为输入的某个变量。
例如，当你申请贷款时，你可能知道你想借的金额，但不知道需要偿还的贷款支付额是多少。

贷款或年金支付额 (C)

$C = \frac{P}{\frac{1}{r} (1 - \frac{1}{(1 + r)^{N}})}$

教材例题 4.15：计算贷款支付额

问题

你的生物技术公司计划购买一台价值 $500,000 的新DNA测序仪。卖方要求你支付20%的购买价作为首付，但愿意为余款提供一个48个月的贷款，每月等额支付，月利率为0.5%。每月的贷款支付额是多少？

解答

首付为 $100,000，因此贷款金额 (P) 为 $400,000。 $C = \frac{400, 000}{\frac{1}{0.005} (1 - \frac{1}{(1.005)^{48}})} = $ 9, 394$ 你的公司每月需要支付 $9,394 来偿还贷款。

4.9 内部收益率 (IRR)

在某些情况下，你知道一个投资机会的现值和现金流，但你不知道其内部收益率 (IRR)。
IRR是使现金流的净现值(NPV)等于零的利率。

教材例题 4.16：计算永续年金的IRR

问题

杰西卡刚获得MBA学位。她决定自己创业。她认为她的业务需要 $100万的初始投资。之后，第一年年底将产生 $10万的现金流，此后每年增长4%。这个投资机会的IRR是多少？

解答

这是一个增长率为4%的增长型永续年金。要使NPV为零，投资的现值必须等于未来现金流的现值。 $$ 1, 000, 000 = \frac{$ 100, 000}{r - 0.04}$ 求解该方程得到 $r$ ： $r = \frac{$ 100, 000}{$ 1, 000, 000} + 0.04 = 0.10 + 0.04 = 0.14$ 因此，这项投资的IRR是 14%。

教材例题 4.17：计算年金的IRR

问题

一家投资银行决定资助杰西卡的公司，提供了 $100万的初始资本。作为回报，杰西卡同意在未来30年里，每年年底向他们支付 $12.5万。这项投资的IRR是多少？

解答

这是一个30年期的年金。我们需要找到使NPV为零的利率 $r$ ： $1, 000, 000 = 125, 000 \times \frac{1}{r} (1 - \frac{1}{(1 + r)^{30}})$ 使用电子表格求解 $r$ ，我们得到IRR为 12.09%。我们可以将这个IRR解释为这笔贷款的有效利率。