• 4.1 时间线
• 4.2 时间旅行三定律
• 4.3 现金流估值
• 4.4 计算净现值 (NPV)
• 4.8 求解现金支付额
• 4.9 内部收益率 (IRR)

• 绘制给定现金流的时间线。
• 列出并定义时间旅行三定律。

• 计算以下各项的终值：

  • 单笔金额
  • 从现在或未来某个时间点开始的一系列不均匀现金流
  • 从现在或未来某个时间点开始的年金
  • 定期发生、每期以恒定速率增长的若干现金流

• 计算以下各项的现值：

  • 单笔金额
  • 从现在或未来某个时间点开始的一系列不均匀现金流
  • 无限期的相同现金流
  • 从现在或未来某个时间点开始的年金
  • 每期以恒定速率增长的无限现金流
  • 定期发生、每期以恒定速率增长的若干现金流

• 对于一项年金，给定以下五个输入中的任意四个，计算第五个：(a) 现值，(b) 终值，(c) 期数，(d) 每期利率，(e) 每期支付额。
• 对于单笔金额，给定以下四个输入中的任意三个，计算第四个：(a) 现值，(b) 终值，(c) 期数，(d) 每期利率。

• 给定现金流和现值或终值，计算一系列现金流的内部收益率。

• 时间线是潜在现金流时间分布的线性表示。
• 绘制现金流时间线有助于你将金融问题可视化。

• 假设你向朋友提供了一笔贷款。未来两年，你将分两次收到还款，每年年底一次。

• 现金流分为两种类型：

  • 现金流入是正的现金流。
  • 现金流出是负的现金流，用负号（-）表示。

• 假设你今天借出 $10,000，这笔贷款分两次偿还，每年偿还 $6,000。

• 日期0（今天）的第一次现金流表示为负数，因为它是一笔现金流出。
• 时间线可以表示发生在任意时期期末的现金流，如月末、周末、日末等。

• 假设今天是第一学期的开始，你的第一次付款发生在日期0（今天）。其余的付款发生在每个学期初。以一学期为时间单位，我们可以构建如下时间线：

• 财务决策通常需要合并现金流或比较其价值。
• 三条定律支配着这些过程。

• 今天的一美元和一年后的一美元是不等价的。

• 只有在同一时间点的价值才能进行比较或合并。

  • 你更愿意选择哪个：今天获得 $1,000 的礼物，还是在稍后的某个日期获得 $1,210？
  • 要回答这个问题，你必须比较这些选择，以决定哪个更有价值。
  • 需要考虑的一个因素是：“稍后”是多久？

• 要将现金流向前移动，你必须对其进行复利计算。
• 假设你可以选择今天收到 $1,000 或两年后收到 $1,210。
• 你相信今天投资 $1,000 可以获得 10% 的收益率，但想知道这 $1,000 在两年后会值多少钱。

图中显示了总终值由三部分构成：原始存款、原始存款的单利以及利息的利息（利滚利）。随着时间的推移，“利滚利”部分显著增长。

• 你可以应用公式 4.1 计算每种情况下的终值。

  • 7 年后：$\mathrm{\$}1000\times (1.10{)}^7=\mathrm{\$}1948.72$
  • 20 年后：$\mathrm{\$}1000\times (1.10{)}^{20}=\mathrm{\$}6727.50$
  • 75 年后：$\mathrm{\$}1000\times (1.10{)}^{75}=\mathrm{\$}1,271,895.37$
• 注意，在 10% 的利率下，你的钱在七年内几乎翻倍。20年后，它将增至近七倍。如果你投资75年，你将成为百万富翁！

• 要将现金流向后移动，我们必须对其进行折现。

• 该债券的现金流可用以下时间线表示：

• 因此，该债券在10年后价值 $15,000。要确定今天的价值，我们计算其现值： $$PV=\frac{15,000}{{1.06}^{10}}=\mathrm{\$}8375.92\text{ (今天)}$$
• 由于货币的时间价值，该债券今天的价值远低于其最终支付额。

• 这 $10,000 今天的价值是： $$PV=\mathrm{\$}10,000÷(1.10{)}^5=\mathrm{\$}6209$$

• 回顾第一条定律：只有在同一时间点的价值才能进行比较或合并。
• 到目前为止，我们只看了比较。
• 假设我们计划今天存 $1,000，并且在未来两年的每年年底各存 $1,000。
• 如果我们的储蓄可以获得固定的 10% 利率，那么从今天起三年后我们会有多少钱？

• 首先，计算现金流的现值。我们可以分别处理每笔现金流，然后将它们的现值相加。
• PV(t=1)：$\mathrm{\$}1000/1.10=\mathrm{\$}909.09$
• PV(t=2)：$\mathrm{\$}1000/(1.10{)}^2=\mathrm{\$}826.45$
• PV(t=0)：$1000
• 总现值：$\mathrm{\$}1000+\mathrm{\$}909.09+\mathrm{\$}826.45=\mathrm{\$}2735.54$

• 今天存入 $2,735.54 等同于连续三年每年存入 $1,000。
• 现在我们计算它在第3年末的终值： $$FV=\mathrm{\$}2735.54\times (1.10{)}^3=\mathrm{\$}3641$$

• 这个 $3,641 的答案与我们之前得到的结果完全相同。
• 只要我们应用时间旅行三定律，我们总能得到正确的答案。

• 基于时间旅行第一定律，我们可以推导出估算一系列现金流价值的通用公式：如果我们想求一系列现金流的现值，只需将每笔现金流的现值相加。

• 你能承诺给亨利叔叔的现金流如下：

• 亨利叔叔今天应该愿意给你多少钱来换取你的还款承诺？他应该愿意给你一个与这些还款现值相等的金额。 $$\begin{array}{rl}PV& =\frac{5000}{1.06}+\frac{8000}{{1.06}^2}+\frac{8000}{{1.06}^3}+\frac{8000}{{1.06}^4}\\ & =4716.98+7119.97+6716.95+6336.75\\ & =\mathrm{\$}24,890.65\end{array}$$
• 因此，亨利叔叔应该愿意借给你 $24,890.65。

• 因此，亨利叔叔应该愿意借给你 $24,890.65，这个金额小于你将支付给他的总额（$29,000），这是由于货币的时间价值。
• 让我们来验证一下。如果你的叔叔今天将 $24,890.65 存入银行，赚取 6% 的利息，四年后他将拥有： $$FV=\mathrm{\$}24,890.65\times (1.06{)}^4=\mathrm{\$}31,423.87$$
• 现在，假设亨利叔叔把钱给了你，然后每年将你的还款存入银行。四年后他会有多少钱？我们需要计算年度存款的终值。

• 我们用两种方法得到了相同的结果（相差一分钱以内，是四舍五入所致）。
• 现值为 PV 的一系列现金流的终值：$F{V}_n=PV\times (1+r{)}^n$

• 计算未来现金流的净现值 (NPV) 让我们能够评估一项投资决策。
• 净现值比较的是现金流入（收益）的现值与现金流出（成本）的现值。 $$NPV=PV(\text{收益})-PV(\text{成本})$$

• 我们用时间线来表示这个问题，初始投资为负现金流，收到的钱为正现金流。

• 为了决定是否接受这个机会，我们通过计算现金流的现值来计算净现值 (NPV)： $$NPV=-1000+\frac{500}{1.10}+\frac{500}{{1.10}^2}+\frac{500}{{1.10}^3}=\mathrm{\$}243.43$$

• 因为 NPV 是正数，收益超过了成本，我们应该进行这项投资。实际上，NPV 告诉我们，接受这个机会就像今天额外获得了 $243.43 可供消费。
• 为了说明这一点，假设你借款 $1,000 用于投资，并额外借款 $243.43 用于今天的消费。
• 在 10% 的利率下，这笔 $1,243.43 的贷款在三年后需要偿还的金额为： $$FV=(\mathrm{\$}1000+\mathrm{\$}243.43)\times (1.10{)}^3=\mathrm{\$}1655$$

• 与此同时，这项投资机会产生了现金流。如果你将这些现金流存入银行账户，三年后你将存下多少钱？存款的终值为： $$FV=(\mathrm{\$}500\times {1.10}^2)+(\mathrm{\$}500\times 1.10)+\mathrm{\$}500=\mathrm{\$}1655$$
• 你可以用你的银行存款来偿还贷款。因此，接受这个机会让你可以在今天消费 $243.43 而无需任何额外成本。

• 当一笔恒定的现金流以固定的时间间隔永远持续下去时，它被称为永续年金。

• 10年期国债收益率（2026年10月30日）：中国 1.65%，美国 4.94%。
• 把例题 4.7 的永续年金（$C=\mathrm{30,000}$）按不同折现率 $r$ 计算现值 $PV=C/r$：

• 利率越低，$PV=C/r$ 对 $r$ 越敏感：同样的现金流，中国国债收益率下的现值约为美国的 3 倍。
• 名义利率与币种、通胀和货币政策有关，现值只能在同一币种、同一利率口径下比较（定律 1）。
• 国债收益率只是折现率的起点；有风险的现金流还需要在其上加风险溢价。

资料来源：中债估值中心，《中债收益率曲线和指数日评》（2026年10月30日）；U.S. Department of the Treasury, Daily Treasury Par Yield Curve Rates（2026年10月30日）

• 当一笔恒定的现金流以固定的时间间隔持续有限的N期时，它被称为年金。

• 选项 (a) 是一个期初年金 (annuity due)，因为它包含一笔立即支付的款项。
• 这笔奖金包括今天立即支付的100万美元，以及一笔为期29年、每年支付100万美元的普通年金。
• 首先，计算未来29年年金的现值 (PV)： $$P{V}_{\text{年金}}=100\text{万}\times \frac{1}{0.08}(1-\frac{1}{{1.08}^{29}})\approx 1116\text{万}$$
• 将首期支付与年金现值相加，得到选项 (a) 的总现值： $$\text{总现值}=100\text{万 (首期)}+1116\text{万 (年金现值)}=1216\text{万}$$
• 结论：选项 (a) 的总现值约为 1216万美元，低于选项 (b) 的 1500万美元。因此，一次性领取1500万美元是更优的选择。

• 中国参与情况：2025年末开户超 1.5 亿，实际缴费账户约 22%，平均缴存额约为上限的 2.5%。
• 满额缴费 $C=\mathrm{12,000}$ 元、$N=30$ 的年金终值（例题 4.9 公式）：$r=3\mathrm{\%}$ 时 $FV\approx \mathrm{570,905}$ 元；$r=5\mathrm{\%}$ 时 $FV\approx \mathrm{797,266}$ 元。
• 税收递延的好处：缴费时节税 $t\times$ 缴费额（$t$ 为边际税率），领取时按 3% 缴税；$t$ 越低，激励越弱。

资料来源：财政部、税务总局公告2022年第34号；人社部等五部门《关于全面实施个人养老金制度的通知》（人社部发〔2024〕87号）；IRS, IR-2025-111（2025年11月13日）；第一财经（2026年3月31日），引《2025中国养老金金融白皮书》

• 假设你预期永续年金的支付额以恒定速率 $g$ 增长。

• 初始现金流为 $C$、增长率为 $g$、利率为 $r$、持续 $N$ 期的增长型年金，其现值为：

• 这是一个为期30年的增长型年金，初始现金流 $C=\mathrm{\$}10,000$，$g=5\mathrm{\%}$，$r=10\mathrm{\%}$。
• 首先，计算这个增长型年金的现值： $$\begin{array}{rl}PV& =\mathrm{\$}10,000\times \frac{1}{0.10-0.05}(1-{\left(\frac{1.05}{1.10}\right)}^{30})\\ & =\mathrm{\$}10,000\times 15.0463\\ & =\mathrm{\$}150,463\text{ (今天)}\end{array}$$
• 接下来，计算这个现值在30年后的终值： $$FV=\mathrm{\$}150,463\times (1.10{)}^{30}=\mathrm{\$}2,625,000\text{ (约 \$262.5 万)}$$
• 艾伦将储蓄 $262.5 万，比她原来的计划多出近 $100 万。

• 有时我们知道现值或终值，但不知道之前作为输入的某个变量。
• 例如，当你申请贷款时，你可能知道你想借的金额，但不知道需要偿还的贷款支付额是多少。

• 中国借款人承担重定价风险：LPR 下行时月供下降，上行时上升；美国借款人在合同期内锁定利率。

资料来源：中国人民银行（LPR 公告，2026年10月20日；2026年第三季度新发放商业性个人住房贷款加权平均利率，2026年10月30日）；北京住房公积金管理中心公告（2025年5月8日）；新华社（2024年11月2日）；深圳市住房和建设局；Freddie Mac, PMMS（2026年10月29日）；CFPB

• 月供公式（例题 4.15）：$C={\displaystyle \frac{P}{\frac{1}{r}(1-\frac{1}{(1+r{)}^N})}}$，$N=360$。
• 总利息占本金的比例：中国新发放贷款约 52.8%，美国 7.24% 时约 145.3%。
• 等额本金（3.05%）：首月 5,319 元，末月 2,785 元，总利息 458,771 元，低于等额本息的 527,500 元，但前期月供更高。
• 两种方式的现金流按贷款利率折现，现值都是 100 万元；差别只在时间分布（定律 1）。

资料来源：中国人民银行（2026年第三季度新发放商业性个人住房贷款加权平均利率；2023年10月13日新闻发布会，经新华社报道）；北京住房公积金管理中心公告（2025年5月8日）；Freddie Mac, PMMS（2026年10月29日）；月供与利息为作者按年金公式计算

资料来源：中国人民银行，《2023年金融机构贷款投向统计报告》；新华社（2023年10月13日，2024年11月2日）；中国人民银行、国家金融监督管理总局，银发〔2023〕174号；FHFA National Mortgage Database（经 Calculated Risk，2026年10月1日）；Freddie Mac, PMMS（2026年10月29日）

• 在某些情况下，你知道一个投资机会的现值和现金流，但你不知道其内部收益率 (IRR)。
• IRR是使现金流的净现值(NPV)等于零的利率。