概率分布

• 当一项投资有风险时，它可能获得不同的收益率。
• 每种可能的收益率都有一定的发生概率。
• 这些信息可以用概率分布来概括，该分布为每种可能的收益率 $R$ 分配一个发生概率 $P_R$。

期望（平均）收益率

• 可能收益率的加权平均值，权重为相应的概率。 $$\text{期望收益率}=E[R]=\sum _R{P}_R\times R$$

方差

• 与均值之差的平方的期望值。 $$Var(R)=E[(R-E[R]{)}^2]=\sum _R{P}_R\times (R-E[R]{)}^2$$

标准差

• 方差的平方根。 $$SD(R)=\sqrt{Var(R)}$$

对于BFI，方差和标准差为：

• $Var[R_{\text{BFI}}]=25\mathrm{\%}\times (-0.20-0.10{)}^2+50\mathrm{\%}\times (0.10-0.10{)}^2+25\mathrm{\%}\times (0.40-0.10{)}^2=0.045$
• $SD(R)=\sqrt{Var(R)}=\sqrt{0.045}=21.2\mathrm{\%}$

计算期望收益率与波动率

• 问题
• 假设AMC股票的收益率为45%或-25%的可能性相等。
• 它的期望收益率和波动率是多少？

解答

首先，通过计算可能收益率的概率加权平均值得到期望收益率： $$E[R]=\sum _R{p}_R\times R=50\mathrm{\%}\times 0.45+50\mathrm{\%}\times (-0.25)=10.0\mathrm{\%}$$ 接着，为计算波动率，先确定方差： $$Var(R)=\sum _R{p}_R\times (R-E[R]{)}^2=50\mathrm{\%}\times (0.45-0.10{)}^2+50\mathrm{\%}\times (-0.25-0.10{)}^2=0.1225$$ 波动率或标准差是方差的平方根： $$SD(R)=\sqrt{Var(R)}=\sqrt{0.1225}=35\mathrm{\%}$$

计算历史收益率

• 实现收益率
• 在特定时间段内实际获得的收益率。 $$R_{t+1}=\frac{Di{v}_{t+1}+P_{t+1}}{P_t}-1=\frac{Di{v}_{t+1}}{P_t}+\frac{P_{t+1}-P_t}{P_t}$$
• = 股利收益率 + 资本利得率

计算历史收益率

• 如果在第一次支付股利之后继续持有该股票，那么要计算收益率，就必须明确这期间收到的任何股利如何投资。
• 假设所有股利都立即再投资，用于购买同一股票或证券的更多股份。

计算历史收益率

• 如果一只股票在每个季度末支付股利，各季度的实现收益率分别为 $R_{Q1},\dots ,R_{Q4}$，那么其年度实现收益率 $R_{\text{annual}}$ 的计算如下： $$1+R_{\text{annual}}=(1+R_{Q1})(1+R_{Q2})(1+R_{Q3})(1+R_{Q4})$$

使用实现收益率估计方差

$$Var(R)=\frac{1}{T-1}\sum _{t=1}^T(R_t-\bar{R}{)}^2$$

计算历史波动率

• 问题
• 使用表10.2的数据，2005-2021年标普500收益率的方差和波动率是多少？

解答

前面我们已算出此期间标普500的年均收益率为12.0%。因此， $$\begin{array}{rl}Var(R)& =\frac{1}{T-1}\sum _t(R_t-\bar{R}{)}^2\\ & =\frac{1}{17-1}[(0.049-0.120{)}^2+(0.158-0.120{)}^2+\\ & \phantom{=}\cdots +(0.287-0.120{)}^2]\\ & =0.028\end{array}$$ 因此波动率或标准差为： $$SD(R)=\sqrt{Var(R)}=\sqrt{0.028}=16.7\mathrm{\%}$$

标准误

• 衡量估计误差大小的统计指标。

期望收益率估计值的标准误

$$\text{SD(独立同分布风险的平均值)}=\frac{\text{SD(个体风险)}}{\sqrt{\text{观测次数}}}$$

95% 置信区间

$$\text{历史平均收益率}\pm (2\times \text{标准误})$$

期望收益率估计的准确性

• 问题
• 仅使用2005年至2021年标普500的收益率数据（见表10.2），您对标普500期望收益率估计的95%置信区间是多少？

解答

• 前面我们已算出此期间标普500的平均收益率为12.0%，波动率为16.7%（见例题10.3）。
• 期望收益率估计值的标准误为 $16.7\mathrm{\%}÷\sqrt{17}=4.0\mathrm{\%}$，95%的置信区间为 $12.0\mathrm{\%}\pm (2\times 4.0\mathrm{\%})$，即从4.0%到20.0%。
• 正如这个例子所示，仅凭几年的数据，我们无法可靠地估计股票的期望收益率！

问题

• 使用补充例题10.3的数据，您对微软期望收益率估计的95%置信区间是多少？

解答

微软期望收益率的95%置信区间计算如下： $$23.9\mathrm{\%}\pm 2\left(\frac{29.3\mathrm{\%}}{\sqrt{14}}\right)=23.9\mathrm{\%}\pm 15.7\mathrm{\%}$$ 即8.2%到39.6%的区间。

大型投资组合的收益率

• 超额收益率
• 一项投资的平均收益率与国库券平均收益率之间的差额。

分散化与赌博

• 问题
• 轮盘赌的轮盘上通常有1到36的数字，外加0和00。轮盘每转一次，这些结果出现的可能性都相等。
• 如果您在任何一个数字上下注并且猜对了，赔率是35:1；也就是说，如果您下注1美元，赢了将收到36美元（35美元奖金加上您的1美元本金），输了则一无所获。
• 假设您在最喜欢的数字上下注1美元。赌场的期望利润是多少？单次下注的利润标准差是多少？
• 假设赌场在一个典型的月份里有900万次类似的下注。赌场每月每美元下注的平均收入的标准差是多少？

解答

• 因为轮盘上有38个数字，所以赢的概率是 $1/38$。如果您赢了，赌场损失35美元；如果您输了，赌场赚1美元。
• 因此，使用公式10.1，赌场的期望利润是： $$E(\text{利润})=(1/38)\times (-\mathrm{\$}35)+(37/38)\times (\mathrm{\$}1)=\mathrm{\$}0.0526$$
• 也就是说，每下注一美元，赌场平均赚5.26美分。
• 对于单次下注，我们使用公式10.2计算该利润的标准差为： $$\begin{array}{rl}SD(\text{利润})& =\sqrt{(1/38)\times (-35-0.0526{)}^2+(37/38)\times (1-0.0526{)}^2}\\ & =\mathrm{\$}5.76\end{array}$$

公司特有风险与系统性风险

• 公司特有新闻
• 关于个别公司的好消息或坏消息。
• 市场整体新闻
• 影响所有股票的新闻，例如关于经济的新闻。

公司特有风险与系统性风险

• 独立风险
• 由公司特有新闻引起。

• 也称为：

  • 公司特有风险
  • 特质风险
  • 独特风险
  • 非系统性风险
  • 可分散风险

公司特有风险与系统性风险

• 共同风险
• 由市场整体新闻引起。

• 也称为：

  • 系统性风险
  • 不可分散风险
  • 市场风险

公司特有风险与系统性风险

• 当许多股票组合成一个大型投资组合时，每只股票的公司特有风险将相互平均而被分散。
• 然而，系统性风险将影响所有公司，并且不会被分散。

公司特有风险与系统性风险

考虑两种类型的公司：

• S型公司只受系统性风险影响。

  • 有50%的概率经济强劲，此时S型股票的收益率为40%。
  • 有50%的概率经济疲软，此时其收益率为-20%。
• 因为所有这些公司都面临相同的系统性风险，持有大量S型公司的投资组合无法分散风险。

公司特有风险与系统性风险

考虑两种类型的公司：

• I型公司只受公司特有风险影响。

  • 它们的收益率同样可能是35%或-25%，这取决于每个公司本地市场的特定因素。
• 因为这些风险是公司特有的，如果我们持有许多I型公司股票的投资组合，风险就会被分散。

公司特有风险与系统性风险

• 实际中的公司同时受市场整体风险和公司特有风险的影响。
• 当公司同时承担这两种风险时，只有非系统性风险会在许多公司的股票组成投资组合时被分散。
• 因此，波动率将下降，直到只剩下系统性风险。

投资组合波动率

• 问题
• 十家S型公司平均收益率的波动率是多少？
• 十家I型公司平均收益率的波动率是多少？

解答

• S型公司的收益率同样可能是40%或-20%。其期望收益率为 $1/2(40\mathrm{\%})+1/2(-20\mathrm{\%})=10\mathrm{\%}$，所以 $$SD(R_S)=\sqrt{1/2(0.40-0.10{)}^2+1/2(-0.20-0.10{)}^2}=30\mathrm{\%}$$ 因为所有S型公司同时获得高收益率或低收益率，十家S型公司的平均收益率也是40%或-20%。因此，其波动率同样为30%，如图10.8所示。
• I型公司的收益率同样可能是35%或-25%。其期望收益率为 $1/2(35\mathrm{\%})+1/2(-25\mathrm{\%})=5\mathrm{\%}$，所以 $$SD(R_I)=\sqrt{1/2(0.35-0.05{)}^2+1/2(-0.25-0.05{)}^2}=30\mathrm{\%}$$ 因为I型公司的收益率是独立的，使用公式10.8，十家I型公司的平均收益率的波动率为 $$30\mathrm{\%}÷\sqrt{10}=9.5\mathrm{\%}$$ 如图10.8所示。

可分散风险与系统性风险

• 问题

• 以下股票的风险中，哪些可能是公司特有的、可分散的风险，哪些可能是系统性风险？哪些风险会影响投资者要求的风险溢价？

  1. a.创始人和CEO退休的风险。
  2. b.油价上涨，增加生产成本的风险。
  3. c.产品设计有缺陷，必须召回产品的风险。
  4. d.经济放缓，减少公司产品需求的风险。

解答

• 因为油价和经济健康状况影响所有股票，风险(b)和(d)是系统性风险。这些风险在大型投资组合中无法分散，因此会影响投资者投资股票所要求的溢价。
• 风险(a)和(c)是公司特有风险，因此是可分散的。虽然在估计公司未来现金流时应考虑这些风险，但它们不会影响投资者将要求的风险溢价，因此也不会影响公司的资本成本。

有效投资组合

• 只包含系统性风险的投资组合。
• 无法在不降低其期望收益率的情况下减小投资组合的波动率。

市场组合

• 包含市场中所有股票和证券的有效投资组合。
• 标普500指数通常被用作市场组合的代理。

对系统性风险的敏感度：Beta ($\beta$)

• 市场组合的超额收益率每变化1%，证券超额收益率的预期变化百分比。
• Beta不同于波动率。波动率衡量总风险（系统性风险加非系统性风险），而Beta仅衡量系统性风险。

估计Beta

• 问题
• 假设经济强劲时市场组合平均上涨47%，经济疲软时下跌25%。
• 一个S型公司在经济强劲时的平均收益率为40%，经济疲软时为-20%，其Beta是多少？
• 一个只承担特质的、公司特有风险的I型公司，其Beta是多少？

解答

• 经济强弱的系统性风险使市场组合的收益率变化 $47\mathrm{\%}-(-25\mathrm{\%})=72\mathrm{\%}$。
• S型公司的收益率平均变化为 $40\mathrm{\%}-(-20\mathrm{\%})=60\mathrm{\%}$。
• 因此，该公司的Beta是 ${\beta }_S=\frac{60\mathrm{\%}}{72\mathrm{\%}}=0.833$。
• 也就是说，市场组合收益率每变化1%，S型公司的收益率平均变化0.833%。
• 然而，I型公司的收益率只含公司特有风险，因此不受经济强弱的影响，只受公司特有因素影响。因为它在经济强劲或疲软时都有相同的期望收益率，所以 ${\beta }_I=\frac{0\mathrm{\%}}{72\mathrm{\%}}=0$。

解读Beta ($\beta$)

• 证券的Beta与其底层收入和现金流对整体经济状况的敏感程度有关。
• 周期性行业的股票可能比敏感度较低行业的股票对系统性风险更敏感，因此具有更高的Beta。

估计风险溢价

• 市场风险溢价
• 市场风险溢价是投资者期望通过持有Beta为1的投资组合而获得的报酬。 $$\text{市场风险溢价}=E[R_{Mkt}]-r_f$$

根据Beta进行调整

• 根据Beta估计一项投资的资本成本： $$E[R]=\text{无风险利率}+\text{风险溢价}$$ $$=r_f+\beta \times (E[R_{Mkt}]-r_f)$$

期望收益率与Beta

• 问题
• 假设无风险利率为5%，且经济强劲或疲软的可能性相等。
• 使用公式10.11确定例题10.8中考虑的S型公司的资本成本。
• 这个资本成本与这些公司的期望收益率相比如何？

解答

• 如果经济强劲或疲软的可能性相等，市场的期望收益率为 $E[R_{Mkt}]=\frac{1}{2}(0.47)+\frac{1}{2}(-0.25)=11\mathrm{\%}$，市场风险溢价为 $$E[R_{Mkt}]-r_f=11\mathrm{\%}-5\mathrm{\%}=6\mathrm{\%}$$
• 已知我们在例题10.8中计算出S型公司的Beta为0.833，根据公式10.11，S型公司的资本成本估计为 $$r_S=r_f+{\beta }_S\times (E[R_{Mkt}]-r_f)=5\mathrm{\%}+0.833\times (11\mathrm{\%}-5\mathrm{\%})=10\mathrm{\%}$$
• 这与它们的期望收益率相符：$\frac{1}{2}(40\mathrm{\%})+\frac{1}{2}(-20\mathrm{\%})=10\mathrm{\%}$。
• 因此，持有这些股票的投资者可以期望获得恰好补偿其所承担系统性风险的收益率（正如竞争市场中所应有的结果）。